变体1

1. 计算$\int e^x\sqrt{3-2e^x}dx$
   • 令$t=3-2e^x$，则$dt=-2e^{x}dx$，$e^{x}dx=-\frac{1}{2}dt$。
   • 原式$=-\frac{1}{2}\int \sqrt{t}dt=-\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+C=-\frac{1}{3}(3-2e^x{)}^{\frac{3}{2}}+C$
2. 计算$\int \frac{1}{x^2}{e}^{\frac{1}{x}}dx$
   • 令$u=\frac{1}{x}$，则$du=-\frac{1}{x^2}dx$。
   • 原式$=-\int e^{u}du=-e^u+C=-e^{\frac{1}{x}}+C$
3. 计算$\int \cos \sqrt{x}dx$
   • 令$t=\sqrt{x}$，$x=t^2$，$dx=2tdt$。
   • 原式$=2\int t\cos tdt$
   • 利用分部积分法$\int udv=uv-\int vdu$，令$u=t$，$dv=\cos tdt$，则$du=dt$，$v=\sin t$。
   • $2\int t\cos tdt=2(t\sin t-\int \sin tdt)=2(t\sin t+\cos t)+C=2(\sqrt{x}\sin \sqrt{x}+\cos \sqrt{x})+C$
4. 计算$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+6x+2}}$
   • 先对$x^2+6x+2$配方：$x^2+6x+2=(x+3{)}^2-7$。
   • 令$x+3=\sqrt{7}\sec \theta$，$dx=\sqrt{7}\sec \theta \tan \theta d\theta$，$x=\sqrt{7}\sec \theta -3$。
   • 则$\sqrt{x^2+6x+2}=\sqrt{7}\tan \theta$。
   • 原式$=\int \frac{\sqrt{7}\sec \theta \tan \theta d\theta }{(\sqrt{7}\sec \theta -3)\sqrt{7}\tan \theta }=\frac{1}{\sqrt{7}}\int \frac{\sec \theta d\theta }{\sec \theta -3}$
   • 再通过三角函数变换及积分运算求解（过程略）。
5. 计算$\int {\tan }^{4}2xdx$
   • 因为${\tan }^{2}2x={\sec }^{2}2x-1$，则${\tan }^{4}2x=({\sec }^{2}2x-1{)}^2={\sec }^{4}2x-2{\sec }^{2}2x+1$。
   • 原式$=\int ({\sec }^{4}2x-2{\sec }^{2}2x+1)dx$
   • $\int {\sec }^{4}2xdx=\frac{1}{2}\int {\sec }^{2}2x(1+{\tan }^{2}2x)d(2x)=\frac{1}{2}(\tan 2x+\frac{1}{3}{\tan }^{3}2x)+C_1$
   • $\int {\sec }^{2}2xdx=\frac{1}{2}\tan 2x+C_2$
   • 所以原式$=\frac{1}{2}(\tan 2x+\frac{1}{3}{\tan }^{3}2x)-\tan 2x+x+C=\frac{1}{6}{\tan }^{3}2x-\frac{1}{2}\tan 2x+x+C$
6. 计算$\int \frac{dx}{3\sin x-4\cos x-3}$
   • 利用万能代换$t=\tan \frac{x}{2}$，$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$，$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$，$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$。
   • 原式$=\int \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{3\times \frac{2t}{1+t^2}-4\times \frac{1-t^2}{1+t^2}-3}$，化简后积分求解（过程略）。
7. 计算$\int \frac{x^3+2}{x^3+4x}dx$
   • 先进行多项式除法：$\frac{x^3+2}{x^3+4x}=1+\frac{2-4x}{x^3+4x}=1+\frac{2-4x}{x(x^2+4)}$
   • 再对$\frac{2-4x}{x(x^2+4)}$进行部分 - 分式分解：$\frac{2-4x}{x(x^2+4)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}$
   • 通分后$2-4x=A(x^2+4)+(Bx+C)x=(A+B)x^2+Cx+4A$
   • 可得$A=\frac{1}{2}$，$B=-\frac{1}{2}$，$C=-4$。
   • 原式$=\int (1+\frac{1}{2x}-\frac{x+8}{2(x^2+4)})dx=x+\frac{1}{2}\ln |x|-\frac{1}{4}\ln (x^2+4)-2\arctan \frac{x}{2}+C$
8. 计算$\int (3x+1{)}^2\sqrt{x-1}dx$
   • 令$t=\sqrt{x-1}$，$x=t^2+1$，$dx=2tdt$。
   • $(3x+1{)}^2=(3(t^2+1)+1{)}^2=(3t^2+4{)}^2=9t^4+24t^2+16$。
   • 原式$=\int (9t^4+24t^2+16)\times t\times 2tdt=2\int (9t^7+24t^5+16t^3)dt$
   • $=2(\frac{9}{8}{t}^8+4t^6+4t^4)+C=\frac{9}{4}(x-1{)}^4+8(x-1{)}^3+8(x-1{)}^2+C$

变体2

1. 计算$\int \frac{\sqrt[5]{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}}dx$
   • 令$u=\arcsin x$，则$du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$。
   • 原式$=\int u^{\frac{1}{5}}du=\frac{5}{6}{u}^{\frac{6}{5}}+C=\frac{5}{6}(\arcsin x{)}^{\frac{6}{5}}+C$
2. 计算$\int \frac{1-\sin 5x}{{\cos }^{2}5x}dx$
   • 原式$=\int \frac{1}{{\cos }^{2}5x}dx-\int \frac{\sin 5x}{{\cos }^{2}5x}dx$
   • 对于$\int \frac{1}{{\cos }^{2}5x}dx$，令$u=5x$，$du=5dx$，则$\int \frac{1}{{\cos }^{2}5x}dx=\frac{1}{5}\int \frac{1}{{\cos }^{2}u}du=\frac{1}{5}\tan u+C_1=\frac{1}{5}\tan 5x+C_1$
   • 对于$\int \frac{\sin 5x}{{\cos }^{2}5x}dx$，令$t=\cos 5x$，$dt=-5\sin 5xdx$，则$\int \frac{\sin 5x}{{\cos }^{2}5x}dx=-\frac{1}{5}\int \frac{dt}{t^2}=\frac{1}{5t}+C_2=\frac{1}{5\cos 5x}+C_2$
   • 所以原式$=\frac{1}{5}\tan 5x-\frac{1}{5\cos 5x}+C$
3. 计算$\int \arcsin xdx$
   • 利用分部积分法$\int udv=uv-\int vdu$，令$u=\arcsin x$，$dv=dx$，则$du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$，$v=x$。
   • 原式$=x\arcsin x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx$
   • 令$t=1-x^2$，$dt=-2xdx$，则$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=-\sqrt{t}+C=-\sqrt{1-x^2}+C$
   • 所以原式$=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$
4. 计算$\int \frac{1+x}{\sqrt{6x-x^2}}dx$
   • 先对$6x-x^2$配方：$6x-x^2=9-(x-3{)}^2$。
   • 原式$=\int \frac{-(-3+x)+4}{\sqrt{9-(x-3{)}^2}}dx$
   • 令$u=x-3$，$du=dx$，则原式$=\int \frac{-u+4}{\sqrt{9-u^2}}du=-\int \frac{u}{\sqrt{9-u^2}}du+4\int \frac{1}{\sqrt{9-u^2}}du$
   • 对于$\int \frac{u}{\sqrt{9-u^2}}du$，令$t=9-u^2$，$dt=-2udu$，$\int \frac{u}{\sqrt{9-u^2}}du=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=-\sqrt{t}+C=-\sqrt{9-u^2}+C$
   • 对于$\int \frac{1}{\sqrt{9-u^2}}du=\arcsin \frac{u}{3}+C$
   • 所以原式$=\sqrt{9-(x-3{)}^2}+4\arcsin \frac{x-3}{3}+C=\sqrt{6x-x^2}+4\arcsin \frac{x-3}{3}+C$
5. 计算$\int {\cos }^{3}2xdx$
   • 原式$=\int \cos 2x(1-{\sin }^{2}2x)dx$
   • 令$u=\sin 2x$，$du=2\cos 2xdx$，则原式$=\frac{1}{2}\int (1-u^2)du=\frac{1}{2}(u-\frac{1}{3}{u}^3)+C=\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{6}{\sin }^{3}2x+C$
6. 计算$\int \frac{dx}{1-\sqrt{x}}$
   • 令$t=\sqrt{x}$，$x=t^2$，$dx=2tdt$。
   • 原式$=2\int \frac{t}{1-t}dt=2\int (-1+\frac{1}{1-t})dt=-2t-2\ln |1-t|+C=-2\sqrt{x}-2\ln |1-\sqrt{x}|+C$
7. 计算$\int \frac{x^2+9x+9}{x^2(x^2+9)}dx$
   • 对$\frac{x^2+9x+9}{x^2(x^2+9)}$进行部分 - 分式分解：$\frac{x^2+9x+9}{x^2(x^2+9)}=\frac{1}{x^2}+\frac{9x}{x^2(x^2+9)}=\frac{1}{x^2}+\frac{9}{x(x^2+9)}$
   • 再对$\frac{9}{x(x^2+9)}$分解：$\frac{9}{x(x^2+9)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+9}$
   • 原式$=\int \frac{1}{x^2}dx+\int (\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+9})dx$
   • $\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C_1$，$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C_2$，$\int \frac{x}{x^2+9}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+9)+C_3$
   • 所以原式$=-\frac{1}{x}+\ln |x|-\frac{1}{2}\ln (x^2+9)+C$
8. 计算$\int x^3\sqrt{(4+x^2{)}^{13}}dx$
   • 令$u=4+x^2$，$du=2xdx$，$x^2=u-4$。
   • 原式$=\frac{1}{2}\int (u-4)u^{\frac{13}{2}}du=\frac{1}{2}\int (u^{\frac{15}{2}}-4u^{\frac{13}{2}})du$
   • $=\frac{1}{2}(\frac{2}{17}{u}^{\frac{17}{2}}-\frac{8}{15}{u}^{\frac{15}{2}})+C=\frac{1}{17}(4+x^2{)}^{\frac{17}{2}}-\frac{4}{15}(4+x^2{)}^{\frac{15}{2}}+C$

变体3

1. 计算$\int \frac{\ln x}{x(1+{\ln }^{2}x)}dx$
   • 令$t=\ln x$，则$dt=\frac{1}{x}dx$。
   • 原式$=\int \frac{t}{1+t^2}dt$
   • 再令$u=1+t^2$，$du=2tdt$，则$\int \frac{t}{1+t^2}dt=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln |u|+C=\frac{1}{2}\ln (1+{\ln }^{2}x)+C$
2. 计算$\int \frac{e^{\frac{2}{x}}}{x^2}dx$
   • 令$u=\frac{2}{x}$，则$du=-\frac{2}{x^2}dx$，$\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{2}du$。
   • 原式$=-\frac{1}{2}\int e^{u}du=-\frac{1}{2}{e}^u+C=-\frac{1}{2}{e}^{\frac{2}{x}}+C$
3. 计算$\int x^3{e}^{2x^2}dx$
   • 令$t=2x^2$，则$dt=4xdx$，$x^2=\frac{t}{2}$，$x^{3}dx=\frac{1}{4}{x}^2\cdot 4xdx$。
   • 原式$=\frac{1}{4}\int \frac{t}{2}{e}^{t}dt=\frac{1}{8}\int t{e}^{t}dt$
   • 利用分部积分法，令$u=t$，$dv=e^{t}dt$，则$du=dt$，$v=e^t$。
   • $\frac{1}{8}\int t{e}^{t}dt=\frac{1}{8}(t{e}^t-\int e^{t}dt)=\frac{1}{8}(t{e}^t-e^t)+C=\frac{1}{8}(2x^2{e}^{2x^2}-e^{2x^2})+C=\frac{1}{8}{e}^{2x^2}(2x^2-1)+C$
4. 计算$\int \frac{(3x+7)dx}{\sqrt{1+6x-x^2}}$
   • 先对$1+6x-x^2$配方：$1+6x-x^2=10-(x-3{)}^2$。
   • 令$u=x-3$，$du=dx$，$3x+7=3(u+3)+7=3u+16$。
   • 原式$=\int \frac{3u+16}{\sqrt{10-u^2}}du=3\int \frac{u}{\sqrt{10-u^2}}du+16\int \frac{1}{\sqrt{10-u^2}}du$
   • 对于$\int \frac{u}{\sqrt{10-u^2}}du$，令$v=10-u^2$，$dv=-2udu$，$\int \frac{u}{\sqrt{10-u^2}}du=-\frac{3}{2}\sqrt{10-u^2}+C_1$
   • 对于$\int \frac{1}{\sqrt{10-u^2}}du=\arcsin \frac{u}{\sqrt{10}}+C_2$
   • 所以原式$=-3\sqrt{10-(x-3{)}^2}+16\arcsin \frac{x-3}{\sqrt{10}}+C=-3\sqrt{1+6x-x^2}+16\arcsin \frac{x-3}{\sqrt{10}}+C$
5. 计算$\int \frac{1+\tan x}{\sin 2x}dx$
   • 因为$\sin 2x=2\sin x\cos x$，$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$。
   • 原式$=\int \frac{1+\frac{\sin x}{\cos x}}{2\sin x\cos x}dx=\frac{1}{2}\int \frac{\cos x+\sin x}{\sin x{\cos }^{2}x}dx$
   • 令$t=\cos x$，则$dt=-\sin xdx$，$\sin x=\sqrt{1-t^2}$（这里先不考虑符号，最后结果通过原函数的性质确定）。
   • 原式$=\frac{1}{2}\int \frac{t-\sqrt{1-t^2}}{(1-t^2)t^2}dt$（再通过部分分式等方法求解，过程较复杂，此处略）
6. 计算$\int \frac{dx}{2\sin x+5\cos x+1}$
   • 利用万能代换$t=\tan \frac{x}{2}$，$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$，$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$，$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$。
   • 原式$=\int \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{2\times \frac{2t}{1+t^2}+5\times \frac{1-t^2}{1+t^2}+1}$，化简后积分求解（过程略）
7. 计算$\int \frac{x^2}{(x^2+2)(x-4)}dx$
   • 对$\frac{x^2}{(x^2+2)(x-4)}$进行部分分式分解：$\frac{x^2}{(x^2+2)(x-4)}=\frac{Ax+B}{x^2+2}+\frac{C}{x-4}$
   • 通分后$x^2=(Ax+B)(x-4)+C(x^2+2)$
   • 令$x=4$，得$16=C(16+2)$，解得$C=\frac{8}{9}$
   • 展开$(Ax+B)(x-4)+C(x^2+2)=A{x}^2-4Ax+Bx-4B+C{x}^2+2C=(A+C)x^2+(-4A+B)x+(-4B+2C)$
   • 比较系数可得$A+C=1$，$-4A+B=0$，联立解得$A=\frac{1}{9}$，$B=\frac{4}{9}$
   • 原式$=\int (\frac{\frac{1}{9}x+\frac{4}{9}}{x^2+2}+\frac{\frac{8}{9}}{x-4})dx=\frac{1}{18}\int \frac{2x}{x^2+2}dx+\frac{4}{9}\int \frac{1}{x^2+2}dx+\frac{8}{9}\int \frac{1}{x-4}dx$
   • $\int \frac{2x}{x^2+2}dx=\ln (x^2+2)+C_1$，$\int \frac{1}{x^2+2}dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{x}{\sqrt{2}}+C_2$，$\int \frac{1}{x-4}dx=\ln |x-4|+C_3$
   • 所以原式$=\frac{1}{18}\ln (x^2+2)+\frac{4}{9\sqrt{2}}\arctan \frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{8}{9}\ln |x-4|+C$
8. 计算$\int \frac{x-1}{\sqrt{x}-\sqrt{1+x}}dx$
   • 先对分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{x}+\sqrt{1+x}$：
   • 原式$=\int \frac{(x-1)(\sqrt{x}+\sqrt{1+x})}{x-(1+x)}dx=-\int (x-1)(\sqrt{x}+\sqrt{1+x})dx$
   • $=-\int (x^{\frac{3}{2}}+x\sqrt{1+x}-\sqrt{x}-\sqrt{1+x})dx$
   • 对于$\int x\sqrt{1+x}dx$，令$u=1+x$，$x=u-1$，$dx=du$，$\int x\sqrt{1+x}dx=\int (u-1)\sqrt{u}du=\int (u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}})du=\frac{2}{5}{u}^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}{u}^{\frac{3}{2}}+C$
   • 然后分别计算各项积分，最后合并结果（过程略）

变体4

1. 计算$\int \frac{e^{-x}}{e^{-2x}-1}dx$
   • 令$t=e^{-x}$，则$dt=-e^{-x}dx$。
   • 原式$=-\int \frac{dt}{t^2-1}=-\frac{1}{2}\int (\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1})dt$
   • $=-\frac{1}{2}(\ln |t-1|-\ln |t+1|)+C=-\frac{1}{2}\ln |\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}|+C$
2. 计算$\int \frac{x^2}{x^6+1}dx$
   • 令$u=x^3$，则$du=3x^{2}dx$，$x^{2}dx=\frac{1}{3}du$。
   • 原式$=\frac{1}{3}\int \frac{du}{u^2+1}=\frac{1}{3}\arctan (u)+C=\frac{1}{3}\arctan (x^3)+C$
3. 计算$\int x^3{\ln }^{2}xdx$
   • 利用分部积分法，令$u={\ln }^{2}x$，$dv=x^{3}dx$，则$du=\frac{2\ln x}{x}dx$，$v=\frac{1}{4}{x}^4$。
   • 原式$=\frac{1}{4}{x}^4{\ln }^{2}x-\frac{1}{2}\int x^3\ln xdx$
   • 再对$\int x^3\ln xdx$用分部积分法，令$u=\ln x$，$dv=x^{3}dx$，则$du=\frac{1}{x}dx$，$v=\frac{1}{4}{x}^4$。
   • $\int x^3\ln xdx=\frac{1}{4}{x}^4\ln x-\frac{1}{16}{x}^4+C_1$
   • 所以原式$=\frac{1}{4}{x}^4{\ln }^{2}x-\frac{1}{2}(\frac{1}{4}{x}^4\ln x-\frac{1}{16}{x}^4)+C=\frac{1}{4}{x}^4{\ln }^{2}x-\frac{1}{8}{x}^4\ln x+\frac{1}{32}{x}^4+C$
4. 计算$\int \frac{dx}{x\sqrt{3x^2-2x-1}}$
   • 先对$3x^2-2x-1$因式分解：$3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$
   • 令$t=\sqrt{\frac{3x+1}{x-1}}$（或其他合适的换元），然后通过换元法和积分运算求解（过程略）
5. 计算$\int (\sin x+\frac{1}{\cos x}{)}^{2}dx$
   • 展开$(\sin x+\frac{1}{\cos x}{)}^2={\sin }^{2}x+2\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
   • 因为${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
   • 原式$=\int (\frac{1-\cos 2x}{2}+2\tan x+{\sec }^{2}x)dx$
   • $=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x-2\ln |\cos x|+\tan x+C$
6. 计算$\int \frac{\sqrt[4]{x+3}}{\sqrt{x+3}+4}dx$
   • 令$t=\sqrt[4]{x+3}$，则$x=t^4-3$，$dx=4t^{3}dt$。
   • 原式$=\int \frac{t}{t^2+4}\times 4t^{3}dt=4\int \frac{t^4}{t^2+4}dt$
   • $=4\int (t^2-4+\frac{16}{t^2+4})dt=\frac{4}{3}{t}^3-16t+32\arctan \frac{t}{2}+C=\frac{4}{3}(x+3{)}^{\frac{3}{4}}-16(x+3{)}^{\frac{1}{4}}+32\arctan \frac{(x+3{)}^{\frac{1}{4}}}{2}+C$
7. 计算$\int \frac{x^2+x-3}{x^3(x-1)}dx$
   • 对$\frac{x^2+x-3}{x^3(x-1)}$进行部分分式分解：$\frac{x^2+x-3}{x^3(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{x-1}$
   • 通分后求解系数$A$、$B$、$C$、$D$，然后分别积分求解（过程略）
8. 计算$\int (x+1)(3x-1{)}^{7}dx$
   • 令$u=3x-1$，则$x=\frac{u+1}{3}$，$dx=\frac{1}{3}du$，$x+1=\frac{u+4}{3}$。
   • 原式$=\frac{1}{27}\int (u+4)u^{7}du=\frac{1}{27}\int (u^8+4u^7)du$
   • $=\frac{1}{27}(\frac{1}{9}{u}^9+\frac{1}{2}{u}^8)+C=\frac{1}{243}(3x-1{)}^9+\frac{1}{54}(3x-1{)}^8+C$

变体 5

1. 计算$\int \frac{\sin x}{1+{\cos }^{2}x}dx$
   • 令$t=\cos x$，则$dt=-\sin xdx$。
   • 原式$=-\int \frac{dt}{1+t^2}$
   • 根据积分公式$\int \frac{1}{1+t^2}dt=\arctan t+C$，可得$-\int \frac{dt}{1+t^2}=-\arctan (\cos x)+C$。
2. 计算$\int \frac{1}{x\sqrt{1-(\ln x{)}^2}}dx$
   • 令$u=\ln x$，则$du=\frac{1}{x}dx$。
   • 原式$=\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$
   • 根据积分公式$\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du=\arcsin u+C$，可得$\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin (\ln x)+C$。
3. 计算$\int x^2{e}^{-x}dx$
   • 利用分部积分法$\int udv=uv-\int vdu$，令$u=x^2$，$dv=e^{-x}dx$，则$du=2xdx$，$v=-e^{-x}$。
   • 原式$=-x^2{e}^{-x}+2\int x{e}^{-x}dx$
   • 对于$\int x{e}^{-x}dx$，再用一次分部积分法，令$u=x$，$dv=e^{-x}dx$，则$du=dx$，$v=-e^{-x}$。
   • $\int x{e}^{-x}dx=-x{e}^{-x}+\int e^{-x}dx=-x{e}^{-x}-e^{-x}+C_1$
   • 所以原式$=-x^2{e}^{-x}+2(-x{e}^{-x}-e^{-x})+C=-e^{-x}(x^2+2x+2)+C$。
4. 计算$\int \frac{2x+3}{\sqrt{-x^2+4x-3}}dx$
   • 先对$-x^2+4x-3$配方：$-x^2+4x-3=-(x-2{)}^2+1$。
   • 令$u=x-2$，则$x=u+2$，$dx=du$，$2x+3=2(u+2)+3=2u+7$。
   • 原式$=\int \frac{2u+7}{\sqrt{1-u^2}}du=2\int \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}du+7\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du$
   • 对于$\int \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}du$，令$v=1-u^2$，$dv=-2udu$，则$\int \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}du=-\sqrt{1-u^2}+C_1$。
   • 对于$\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du=\arcsin u+C_2$。
   • 所以原式$=-2\sqrt{1-(x-2{)}^2}+7\arcsin (x-2)+C=-2\sqrt{-x^2+4x-3}+7\arcsin (x-2)+C$。
5. 计算$\int {\tan }^{3}x\sec xdx$
   • 因为${\tan }^{3}x\sec x={\tan }^{2}x\cdot \tan x\sec x=({\sec }^{2}x-1)\tan x\sec x$。
   • 令$t=\sec x$，则$dt=\sec x\tan xdx$。
   • 原式$=\int (t^2-1)dt=\frac{1}{3}{t}^3-t+C=\frac{1}{3}{\sec }^{3}x-\sec x+C$。
6. 计算$\int \frac{dx}{x+\sqrt{x}}$
   • 令$t=\sqrt{x}$，则$x=t^2$，$dx=2tdt$。
   • 原式$=\int \frac{2tdt}{t^2+t}=2\int \frac{dt}{t+1}=2\ln |t+1|+C=2\ln (\sqrt{x}+1)+C$。
7. 计算$\int \frac{x^3+1}{x^2-x}dx$
   • 先进行多项式除法：$\frac{x^3+1}{x^2-x}=x+1+\frac{x+1}{x^2-x}$。
   • 对$\frac{x+1}{x^2-x}$进行部分分式分解：$\frac{x+1}{x^2-x}=\frac{x+1}{x(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}$，通分后可得$x+1=A(x-1)+Bx$，令$x=0$，得$A=-1$；令$x=1$，得$B=2$。
   • 原式$=\int (x+1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1})dx=\frac{1}{2}{x}^2+x-\ln |x|+2\ln |x-1|+C$。
8. 计算$\int (x-2)\sqrt{x^2-4x+3}dx$
   • 令$t=x^2-4x+3$，则$dt=(2x-4)dx=2(x-2)dx$。
   • 原式$=\frac{1}{2}\int \sqrt{t}dt=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}(x^2-4x+3{)}^{\frac{3}{2}}+C$。

变体 6

1. 计算$\int \frac{\cos x}{1+{\sin }^{2}x}dx$
   • 令$u=\sin x$，则$du=\cos xdx$。
   • 原式$=\int \frac{du}{1+u^2}=\arctan (\sin x)+C$。
2. 计算$\int \frac{1}{x\sqrt{1+(\ln x{)}^2}}dx$
   • 令$t=\ln x$，则$dt=\frac{1}{x}dx$。
   • 原式$=\int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}$
   • 根据积分公式$\int \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}dt=\ln (t+\sqrt{1+t^2})+C$，可得$\int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}=\ln (\ln x+\sqrt{1+(\ln x{)}^2})+C$。
3. 计算$\int x\ln (x+1)dx$
   • 利用分部积分法，令$u=\ln (x+1)$，$dv=xdx$，则$du=\frac{1}{x+1}dx$，$v=\frac{1}{2}{x}^2$。
   • 原式$=\frac{1}{2}{x}^2\ln (x+1)-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x+1}dx$
   • 对$\frac{x^2}{x+1}$进行多项式除法：$\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$。
   • 则$\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x+1}dx=\frac{1}{2}\int (x-1+\frac{1}{x+1})dx=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\ln |x+1|+C_1$。
   • 所以原式$=\frac{1}{2}{x}^2\ln (x+1)-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\ln |x+1|+C$。
4. 计算$\int \frac{3x-1}{\sqrt{-x^2-2x+8}}dx$
   • 先对$-x^2-2x+8$配方：$-x^2-2x+8=-(x+1{)}^2+9$。
   • 令$u=x+1$，则$x=u-1$，$dx=du$，$3x-1=3(u-1)-1=3u-4$。
   • 原式$=\int \frac{3u-4}{\sqrt{9-u^2}}du=3\int \frac{u}{\sqrt{9-u^2}}du-4\int \frac{1}{\sqrt{9-u^2}}du$
   • 对于$\int \frac{u}{\sqrt{9-u^2}}du$，令$v=9-u^2$，$dv=-2udu$，则$\int \frac{u}{\sqrt{9-u^2}}du=-\sqrt{9-u^2}+C_1$。
   • 对于$\int \frac{1}{\sqrt{9-u^2}}du=\arcsin \frac{u}{3}+C_2$。
   • 所以原式$=-3\sqrt{9-(x+1{)}^2}-4\arcsin \frac{x+1}{3}+C=-3\sqrt{-x^2-2x+8}-4\arcsin \frac{x+1}{3}+C$。
5. 计算$\int {\cot }^{3}x\csc xdx$
   • 因为${\cot }^{3}x\csc x={\cot }^{2}x\cdot \cot x\csc x=({\csc }^{2}x-1)\cot x\csc x$。
   • 令$t=\csc x$，则$dt=-\csc x\cot xdx$。
   • 原式$=-\int (t^2-1)dt=-\frac{1}{3}{t}^3+t+C=-\frac{1}{3}{\csc }^{3}x+\csc x+C$。
6. 计算$\int \frac{dx}{x-\sqrt{x}}$
   • 令$t=\sqrt{x}$，则$x=t^2$，$dx=2tdt$。
   • 原式$=\int \frac{2tdt}{t^2-t}=2\int \frac{dt}{t-1}=2\ln |t-1|+C=2\ln (\sqrt{x}-1)+C$。
7. 计算$\int \frac{x^3-1}{x^2+x}dx$
   • 先进行多项式除法：$\frac{x^3-1}{x^2+x}=x-1+\frac{x-1}{x^2+x}$。
   • 对$\frac{x-1}{x^2+x}$进行部分分式分解：$\frac{x-1}{x^2+x}=\frac{x-1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$，通分后可得$x-1=A(x+1)+Bx$，令$x=0$，得$A=-1$；令$x=-1$，得$B=2$。
   • 原式$=\int (x-1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1})dx=\frac{1}{2}{x}^2-x-\ln |x|+2\ln |x+1|+C$。
8. 计算$\int (x+3)\sqrt{x^2+6x+5}dx$
   • 令$t=x^2+6x+5$，则$dt=(2x+6)dx=2(x+3)dx$。
   • 原式$=\frac{1}{2}\int \sqrt{t}dt=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}(x^2+6x+5{)}^{\frac{3}{2}}+C$。

变体 7

1. 计算$\int \frac{\sin x\cos x}{1+{\sin }^{4}x}dx$
   • 令$t={\sin }^{2}x$，则$dt=2\sin x\cos xdx$，$\sin x\cos xdx=\frac{1}{2}dt$。
   • 原式$=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{1+t^2}$
   • 根据积分公式$\int \frac{1}{1+t^2}dt=\arctan t+C$，可得$\frac{1}{2}\int \frac{dt}{1+t^2}=\frac{1}{2}\arctan ({\sin }^{2}x)+C$。
2. 计算$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx$
   • 令$x=\sec t$，$dx=\sec t\tan tdt$。
   • 原式$=\int \frac{\sec t\tan t}{\sec t\tan t}dt=\int dt=t+C=\text{arcsec}x+C$，也可令$u=\frac{1}{x}$，$dx=-\frac{1}{u^2}du$，则原式$=-\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=-\arcsin \frac{1}{x}+C$。
3. 计算$\int x^2\cos xdx$
   • 利用分部积分法，令$u=x^2$，$dv=\cos xdx$，则$du=2xdx$，$v=\sin x$。
   • 原式$=x^2\sin x-2\int x\sin xdx$
   • 对于$\int x\sin xdx$，再用分部积分法，令$u=x$，$dv=\sin xdx$，则$du=dx$，$v=-\cos x$。
   • $\int x\sin xdx=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x+C_1$
   • 所以原式$=x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C$。
4. 计算$\int \frac{4x-5}{\sqrt{-x^2+6x-8}}dx$
   • 先对$-x^2+6x-8$配方：$-x^2+6x-8=-(x-3{)}^2+1$。
   • 令$u=x-3$，则$x=u+3$，$dx=du$，$4x-5=4(u+3)-5=4u+7$。
   • 原式$=\int \frac{4u+7}{\sqrt{1-u^2}}du=4\int \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}du+7\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du$
   • 对于$\int \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}du$，令$v=1-u^2$，$dv=-2udu$，则$\int \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}du=-\sqrt{1-u^2}+C_1$。
   • 对于$\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du=\arcsin u+C_2$。
   • 所以原式$=-4\sqrt{1-(x-3{)}^2}+7\arcsin (x-3)+C=-4\sqrt{-x^2+6x-8}+7\arcsin (x-3)+C$。
5. 计算$\int {\sec }^{3}x\tan xdx$
   • 因为${\sec }^{3}x\tan x={\sec }^{2}x\cdot \sec x\tan x$。
   • 令$t=\sec x$，则$dt=\sec x\tan xdx$。
   • 原式$=\int t^{2}dt=\frac{1}{3}{t}^3+C=\frac{1}{3}{\sec }^{3}x+C$。
6. 计算$\int \frac{dx}{x+\sqrt[3]{x}}$
   • 令$t=\sqrt[3]{x}$，则$x=t^3$，$dx=3t^{2}dt$。
   • 原式$=\int \frac{3t^2}{t^3+t}dt=3\int \frac{t}{t^2+1}dt$
   • 令$u=t^2+1$，$du=2tdt$，则$3\int \frac{t}{t^2+1}dt=\frac{3}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{3}{2}\ln |u|+C=\frac{3}{2}\ln |x^{\frac{2}{3}}+1|+C$。
7. 计算$\int \frac{x^3+2x}{x^2-x-2}dx$
   • 先进行多项式除法：$\frac{x^3+2x}{x^2-x-2}=x+1+\frac{5x+2}{x^2-x-2}$。
   • 对$\frac{5x+2}{x^2-x-2}$进行部分分式分解：$\frac{5x+2}{x^2-x-2}=\frac{5x+2}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}$，通分后$5x+2=A(x+1)+B(x-2)$，令$x=2$，得$A=4$；令$x=-1$，得$B=1$。
   • 原式$=\int (x+1+\frac{4}{x-2}+\frac{1}{x+1})dx=\frac{1}{2}{x}^2+x+4\ln |x-2|+\ln |x+1|+C$。
8. 计算$\int (x-1)\sqrt{x^2-2x-3}dx$
   • 令$t=x^2-2x-3$，则$dt=(2x-2)dx=2(x-1)dx$。
   • 原式$=\frac{1}{2}\int \sqrt{t}dt=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}(x^2-2x-3{)}^{\frac{3}{2}}+C$。

变体 8

1. 计算$\int \frac{\cos x\sin x}{1+{\cos }^{4}x}dx$
   • 令$t={\cos }^{2}x$，则$dt=-2\cos x\sin xdx$，$\cos x\sin xdx=-\frac{1}{2}dt$。
   • 原式$=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{1+t^2}=-\frac{1}{2}\arctan ({\cos }^{2}x)+C$。
2. 计算$\int \frac{1}{x\sqrt{4-x^2}}dx$
   • 令$x=2\sin t$，$dx=2\cos tdt$。
   • 原式$=\int \frac{2\cos t}{2\sin t\cdot 2\cos t}dt=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sin t}=\frac{1}{2}\ln |\csc t-\cot t|+C$，由$x=2\sin t$，$\sin t=\frac{x}{2}$，$\csc t=\frac{2}{x}$，$\cot t=\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}$，则原式$=\frac{1}{2}\ln |\frac{2-\sqrt{4-x^2}}{x}|+C$。
3. 计算$\int x^2\sin xdx$
   • 利用分部积分法，令$u=x^2$，$dv=\sin xdx$，则$du=2xdx$，$v=-\cos x$。
   • 原式$=-x^2\cos x+2\int x\cos xdx$
   • 对于$\int x\cos xdx$，再用分部积分法，令$u=x$，$dv=\cos xdx$，则$du=dx$，$v=\sin x$。
   • $\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C_1$
   • 所以原式$=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$。
4. 计算$\int \frac{5x-6}{\sqrt{-x^2+8x-12}}dx$
   • 先对$-x^2+8x-12$配方：$-x^2+8x-12=-(x-4{)}^2+4$。
   • 令$u=x-4$，则$x=u+4$，$dx=du$，$5x-6=5(u+4)-6=5u+14$。
   • 原式$=\int \frac{5u+14}{\sqrt{4-u^2}}du=5\int \frac{u}{\sqrt{4-u^2}}du+14\int \frac{1}{\sqrt{4-u^2}}du$
   • 对于$\int \frac{u}{\sqrt{4-u^2}}du$，令$v=4-u^2$，$dv=-2udu$，则$\int \frac{u}{\sqrt{4-u^2}}du=-\sqrt{4-u^2}+C_1$。
   • 对于$\int \frac{1}{\sqrt{4-u^2}}du=\arcsin \frac{u}{2}+C_2$。
   • 所以原式$=-5\sqrt{4-(x-4{)}^2}+14\arcsin \frac{x-4}{2}+C=-5\sqrt{-x^2+8x-12}+14\arcsin \frac{x-4}{2}+C$。
5. 计算$\int {\csc }^{3}x\cot xdx$
   • 因为${\csc }^{3}x\cot x={\csc }^{2}x\cdot \csc x\cot x$。
   • 令$t=\csc x$，则$dt=-\csc x\cot xdx$。
   • 原式$=-\int t^{2}dt=-\frac{1}{3}{t}^3+C=-\frac{1}{3}{\csc }^{3}x+C$。
6. 计算$\int \frac{dx}{x-\sqrt[3]{x}}$
   • 令$t=\sqrt[3]{x}$，则$x=t^3$，$dx=3t^{2}dt$。
   • 原式$=\int \frac{3t^2}{t^3-t}dt=3\int \frac{t}{t^2-1}dt$
   • 令$u=t^2-1$，$du=2tdt$，则$3\int \frac{t}{t^2-1}dt=\frac{3}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{3}{2}\ln |u|+C=\frac{3}{2}\ln |x^{\frac{2}{3}}-1|+C$。
7. 计算$\int \frac{x^3-3x}{x^2+x-6}dx$
   • 先进行多项式除法：$\frac{x^3-3x}{x^2+x-6}=x-1+\frac{4x-6}{x^2+x-6}$。
   • 对$\frac{4x-6}{x^2+x-6}$进行部分分式分解：$\frac{4x-6}{x^2+x-6}=\frac{4x-6}{(x+3)(x-2)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}$，通分后$4x-6=A(x-2)+B(x+3)$，令$x=2$，得$B=\frac{2}{5}$；令$x=-3$，得$A=\frac{18}{5}$。
   • 原式$=\int (x-1+\frac{18}{5(x+3)}+\frac{2}{5(x-2)})dx=\frac{1}{2}{x}^2-x+\frac{18}{5}\ln |x+3|+\frac{2}{5}\ln |x-2|+C$。
8. 计算$\int (x+2)\sqrt{x^2+4x+3}dx$
   • 令$t=x^2+4x+3$，则$dt=(2x+4)dx=2(x+2)dx$。
   • 原式$=\frac{1}{2}\int \sqrt{t}dt=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}(x^2+4x+3{)}^{\frac{3}{2}}+C$。

变体9

1. 计算$\int \frac{e^x}{1+e^{2x}}dx$
   • 令$t=e^x$，则$dt=e^{x}dx$。
   • 原式$=\int \frac{dt}{1+t^2}$
   • 根据积分公式$\int \frac{1}{1+t^2}dt=\arctan t+C$，可得$\int \frac{dt}{1+t^2}=\arctan (e^x)+C$。
2. 计算$\int x^2\sqrt[5]{1+x^3}dx$
   • 令$u=1+x^3$，则$du=3x^{2}dx$，$x^{2}dx=\frac{1}{3}du$。
   • 原式$=\frac{1}{3}\int u^{\frac{1}{5}}du$
   • 由积分公式$\int u^{n}du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)$，可得$\frac{1}{3}\times \frac{5}{6}{u}^{\frac{6}{5}}+C=\frac{5}{18}(1+x^3{)}^{\frac{6}{5}}+C$。
3. 计算$\int e^{\sqrt{2x}}dx$
   • 令$t=\sqrt{2x}$，则$x=\frac{t^2}{2}$，$dx=tdt$。
   • 原式$=\int e^t\cdot tdt$
   • 利用分部积分法$\int udv=uv-\int vdu$，令$u=t$，$dv=e^{t}dt$，则$du=dt$，$v=e^t$。
   • 所以$\int e^t\cdot tdt=t{e}^t-\int e^{t}dt=t{e}^t-e^t+C=e^{\sqrt{2x}}(\sqrt{2x}-1)+C$。
4. 计算$\int \frac{2x-8}{\sqrt{1-x-x^2}}dx$
   • 先对$1-x-x^2$配方：$1-x-x^2=\frac{5}{4}-(x+\frac{1}{2}{)}^2$。
   • 令$u=x+\frac{1}{2}$，则$x=u-\frac{1}{2}$，$dx=du$，$2x-8=2(u-\frac{1}{2})-8=2u-9$。
   • 原式$=\int \frac{2u-9}{\sqrt{\frac{5}{4}-u^2}}du=2\int \frac{u}{\sqrt{\frac{5}{4}-u^2}}du-9\int \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}-u^2}}du$
   • 对于$\int \frac{u}{\sqrt{\frac{5}{4}-u^2}}du$，令$v=\frac{5}{4}-u^2$，$dv=-2udu$，$\int \frac{u}{\sqrt{\frac{5}{4}-u^2}}du=-\sqrt{\frac{5}{4}-u^2}+C_1$。
   • 对于$\int \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}-u^2}}du=\arcsin \frac{2u}{\sqrt{5}}+C_2$。
   • 所以原式$=-2\sqrt{1-x-x^2}-9\arcsin \frac{2x+1}{\sqrt{5}}+C$。
5. 计算$\int {\tan }^{\frac{3}{2}}x{\sec }^{4}xdx$
   • 因为${\sec }^{4}x={\sec }^{2}x\cdot {\sec }^{2}x=(1+{\tan }^{2}x){\sec }^{2}x$。
   • 原式$=\int {\tan }^{\frac{3}{2}}x(1+{\tan }^{2}x){\sec }^{2}xdx$
   • 令$t=\tan x$，则$dt={\sec }^{2}xdx$。
   • 原式$=\int t^{\frac{3}{2}}(1+t^2)dt=\int (t^{\frac{3}{2}}+t^{\frac{7}{2}})dt=\frac{2}{5}{t}^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{9}{t}^{\frac{9}{2}}+C=\frac{2}{5}{\tan }^{\frac{5}{2}}x+\frac{2}{9}{\tan }^{\frac{9}{2}}x+C$。
6. 计算$\int \frac{dx}{1+3\cos x}$
   • 利用万能代换$t=\tan \frac{x}{2}$，$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$，$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$。
   • 原式$=\int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{1+3\times \frac{1-t^2}{1+t^2}}dt=\int \frac{2}{1+t^2+3-3t^2}dt=\int \frac{2}{4-2t^2}dt=\int \frac{1}{2-t^2}dt$
   • 对$\frac{1}{2-t^2}$进行部分分式分解$\frac{1}{2-t^2}=\frac{1}{(\sqrt{2}+t)(\sqrt{2}-t)}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}-t}+\frac{1}{\sqrt{2}+t})$。
   • 所以$\int \frac{1}{2-t^2}dt=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln |\frac{\sqrt{2}+t}{\sqrt{2}-t}|+C=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln |\frac{\sqrt{2}+\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{2}-\tan \frac{x}{2}}|+C$。
7. 计算$\int \frac{2x^2-3x-3}{(x-1)(x^2-2x+5)}dx$
   • 对$\frac{2x^2-3x-3}{(x-1)(x^2-2x+5)}$进行部分分式分解：$\frac{2x^2-3x-3}{(x-1)(x^2-2x+5)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+5}$。
   • 通分后$2x^2-3x-3=A(x^2-2x+5)+(Bx+C)(x-1)$，令$x=1$，得$A=-1$。
   • 展开等式右边并比较系数，可得$B=3$，$C=2$。
   • 原式$=\int (-\frac{1}{x-1}+\frac{3x+2}{x^2-2x+5})dx=-\int \frac{1}{x-1}dx+\frac{3}{2}\int \frac{2x-2}{x^2-2x+5}dx+\int \frac{5}{x^2-2x+5}dx$
   • $\int \frac{1}{x-1}dx=\ln |x-1|$，$\frac{3}{2}\int \frac{2x-2}{x^2-2x+5}dx=\frac{3}{2}\ln (x^2-2x+5)$。
   • 对于$\int \frac{5}{x^2-2x+5}dx=\int \frac{5}{(x-1{)}^2+4}dx=\frac{5}{2}\arctan \frac{x-1}{2}+C$。
   • 所以原式$=-\ln |x-1|+\frac{3}{2}\ln (x^2-2x+5)+\frac{5}{2}\arctan \frac{x-1}{2}+C$。
8. 计算$\int \frac{x^5}{\sqrt{x^2-1}}dx$
   • 令$t=\sqrt{x^2-1}$，则$x^2=t^2+1$，$xdx=tdt$，$x^5=x^4\cdot x=(t^2+1{)}^2\cdot x$。
   • 原式$=\int \frac{(t^2+1{)}^2\cdot x}{t}\cdot \frac{t}{x}dt=\int (t^4+2t^2+1)dt=\frac{1}{5}{t}^5+\frac{2}{3}{t}^3+t+C=\frac{1}{5}(x^2-1{)}^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{3}(x^2-1{)}^{\frac{3}{2}}+\sqrt{x^2-1}+C$。

变体10

1. 计算$\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$
   • 令$t=\sqrt{x}$，则$x=t^2$，$dx=2tdt$。
   • 原式$=2\int e^{t}dt=2e^t+C=2e^{\sqrt{x}}+C$。
2. 计算$\int \frac{\sin x}{\cos x+1}dx$
   • 令$u=\cos x+1$，则$du=-\sin xdx$。
   • 原式$=-\int \frac{du}{u}=-\ln |u|+C=-\ln |\cos x+1|+C$。
3. 计算$\int \frac{x\cos x}{{\sin }^{3}x}dx$
   • 利用分部积分法，令$u=x$，$dv=\frac{\cos x}{{\sin }^{3}x}dx$。
   • 对$dv$积分，令$t=\sin x$，则$dt=\cos xdx$，$\int \frac{\cos x}{{\sin }^{3}x}dx=\int t^{-3}dt=-\frac{1}{2}{t}^{-2}+C=-\frac{1}{2{\sin }^{2}x}+C$，所以$v=-\frac{1}{2{\sin }^{2}x}$。
   • 由分部积分公式$\int udv=uv-\int vdu$，$du=dx$。
   • 原式$=-\frac{x}{2{\sin }^{2}x}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$
   • 因为$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$。
   • 所以原式$=-\frac{x}{2{\sin }^{2}x}-\frac{1}{2}\cot x+C$。
4. 计算$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-5x-1}}$
   • 令$t=\sqrt{x^2-5x-1}$，则$x^2-5x-1=t^2$，两边对$x$求导得$2x-5=2t\frac{dt}{dx}$，$dx=\frac{2t}{2x-5}dt$。
   • 原式$=\int \frac{1}{x\cdot t}\cdot \frac{2t}{2x-5}dt$，再将$x$用$t$表示（由$x^2-5x-1=t^2$解出$x=\frac{5\pm \sqrt{25+4(1+t^2)}}{2}$），代入化简后积分求解（过程较复杂，此处略），也可使用其他合适的换元法，如令$x=\frac{1}{u}$等。
5. 计算$\int {\cot }^{4}xdx$
   • 因为${\cot }^{4}x={\cot }^{2}x\cdot {\cot }^{2}x=({\csc }^{2}x-1){\cot }^{2}x=({\csc }^{2}x-1)({\csc }^{2}x-1)={\csc }^{4}x-2{\csc }^{2}x+1$。
   • 原式$=\int ({\csc }^{4}x-2{\csc }^{2}x+1)dx$
   • $\int {\csc }^{4}xdx=\int {\csc }^{2}x(1+{\cot }^{2}x)dx$，令$u=\cot x$，$du=-{\csc }^{2}xdx$，$\int {\csc }^{2}x(1+{\cot }^{2}x)dx=-\int (1+u^2)du=-u-\frac{1}{3}{u}^3+C=-\cot x-\frac{1}{3}{\cot }^{3}x+C$。
   • $\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$。
   • 所以原式$=-\cot x-\frac{1}{3}{\cot }^{3}x+2\cot x+x+C=-\frac{1}{3}{\cot }^{3}x+\cot x+x+C$。
6. 计算$\int \frac{dx}{1+\sqrt[4]{x}}$
   • 令$t=\sqrt[4]{x}$，则$x=t^4$，$dx=4t^{3}dt$。
   • 原式$=\int \frac{4t^3}{1+t}dt=4\int \frac{t^3+1-1}{1+t}dt=4\int (t^2-t+1-\frac{1}{1+t})dt$
   • $=4(\frac{1}{3}{t}^3-\frac{1}{2}{t}^2+t-\ln |1+t|)+C=4(\frac{1}{3}{x}^{\frac{3}{4}}-\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}-\ln (1+x^{\frac{1}{4}}))+C$。
7. 计算$\int \frac{x^2-3x+2}{x(x^2+2x+1)}dx$
   • 对$\frac{x^2-3x+2}{x(x^2+2x+1)}$进行部分分式分解：$\frac{x^2-3x+2}{x(x^2+2x+1)}=\frac{x^2-3x+2}{x(x+1{)}^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1{)}^2}$。
   • 通分后$x^2-3x+2=A(x+1{)}^2+Bx(x+1)+Cx$，令$x=0$，得$A=2$；令$x=-1$，得$C=6$。
   • 展开等式右边并比较系数，可得$B=-1$。
   • 原式$=\int (\frac{2}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{6}{(x+1{)}^2})dx=2\ln |x|-\ln |x+1|-\frac{6}{x+1}+C$。
8. 计算$\int \frac{(x-1{)}^2}{(x+5{)}^{10}}dx$
   • 令$u=x+5$，则$x=u-5$，$dx=du$，$(x-1{)}^2=(u-6{)}^2=u^2-12u+36$。
   • 原式$=\int \frac{u^2-12u+36}{u^{10}}du=\int (u^{-8}-12u^{-9}+36u^{-10})du$
   • $=-\frac{1}{7}{u}^{-7}+\frac{3}{2}{u}^{-8}-4u^{-9}+C=-\frac{1}{7(x+5{)}^7}+\frac{3}{2(x+5{)}^8}-\frac{4}{(x+5{)}^9}+C$。

变体 11

1. 计算$\int \frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx$
   • 令$t=e^x$，则$dt=e^{x}dx$。
   • 原式$=\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$
   • 根据积分公式$\int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=\arcsin t+C$，可得$\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin (e^x)+C$。
2. 计算$\int \frac{x^4-1}{-6x^5}dx$
   • 原式$=-\frac{1}{6}\int (\frac{x^4}{x^5}-\frac{1}{x^5})dx=-\frac{1}{6}\int (\frac{1}{x}-x^{-5})dx$
   • 根据积分公式$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$，$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)$，可得$-\frac{1}{6}(\ln |x|+\frac{1}{4x^4})+C=-\frac{1}{6}\ln |x|-\frac{1}{24x^4}+C$。
3. 计算$\int \mathrm{arccot}\sqrt{x}dx$
   • 利用分部积分法$\int udv=uv-\int vdu$，令$u=\mathrm{arccot}\sqrt{x}$，$dv=dx$，则$du=-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}dx$，$v=x$。
   • 原式$=x\mathrm{arccot}\sqrt{x}+\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{x}}{1+x}dx$
   • 令$t=\sqrt{x}$，$x=t^2$，$dx=2tdt$，则$\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{x}}{1+x}dx=\int \frac{t^2}{1+t^2}dt=\int (1-\frac{1}{1+t^2})dt=t-\arctan t+C=\sqrt{x}-\arctan \sqrt{x}+C$
   • 所以原式$=x\mathrm{arccot}\sqrt{x}+\sqrt{x}-\arctan \sqrt{x}+C$。
4. 计算$\int \frac{x-1}{\sqrt{3+4x+x^2}}dx$
   • 先对$3+4x+x^2$配方：$3+4x+x^2=(x+2{)}^2-1$。
   • 令$u=x+2$，则$x=u-2$，$dx=du$，$x-1=u-3$。
   • 原式$=\int \frac{u-3}{\sqrt{u^2-1}}du=\int \frac{u}{\sqrt{u^2-1}}du-3\int \frac{1}{\sqrt{u^2-1}}du$
   • 对于$\int \frac{u}{\sqrt{u^2-1}}du$，令$v=u^2-1$，$dv=2udu$，$\int \frac{u}{\sqrt{u^2-1}}du=\sqrt{u^2-1}+C_1$。
   • 对于$\int \frac{1}{\sqrt{u^2-1}}du=\ln |u+\sqrt{u^2-1}|+C_2$。
   • 所以原式$=\sqrt{3+4x+x^2}-3\ln |x+2+\sqrt{3+4x+x^2}|+C$。
5. 计算$\int \frac{dx}{\sqrt{\cos x{\sin }^{3}x}}$
   • 原式$=\int \frac{dx}{\sqrt{\frac{{\sin }^{3}x}{\cos x}{\cos }^{2}x}}=\int \frac{\sec x}{\sqrt{{\tan }^{3}x}}dx$
   • 令$t=\tan x$，则$dt={\sec }^{2}xdx$，$\sec x=\sqrt{1+t^2}$。
   • 原式$=\int \frac{1}{\sqrt{t^3}}\cdot \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}$（再通过进一步换元，如令$u=\sqrt{t}$等方法求解，过程略）
6. 计算$\int \frac{dx}{2\cos x+3\sin x+5}$
   • 利用万能代换$t=\tan \frac{x}{2}$，$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$，$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$，$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$。
   • 原式$=\int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{2\times \frac{1-t^2}{1+t^2}+3\times \frac{2t}{1+t^2}+5}dt=\int \frac{2}{2-2t^2+6t+5+5t^2}dt=\int \frac{2}{3t^2+6t+7}dt$
   • 对$3t^2+6t+7$配方$3t^2+6t+7=3(t+1{)}^2+4$。
   • 再令$u=t+1$，$dt=du$，则原式$=\frac{2}{3}\int \frac{du}{u^2+\frac{4}{3}}$，根据积分公式$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$，可得$\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\arctan \frac{\sqrt{3}u}{2}+C=\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan \frac{\sqrt{3}(\tan \frac{x}{2}+1)}{2}+C$。
7. 计算$\int \frac{x+1}{x^4+x^2}dx$
   • 对$\frac{x+1}{x^4+x^2}$进行部分分式分解：$\frac{x+1}{x^4+x^2}=\frac{x+1}{x^2(x^2+1)}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x}$。
   • 原式$=\int (\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x})dx=-\frac{1}{x}+\arctan x-\ln |x|+C$。
8. 计算$\int \frac{x+3}{\sqrt{x}+\sqrt{3-x}}dx$
   • 先对分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{x}-\sqrt{3-x}$：
   • 原式$=\int \frac{(x+3)(\sqrt{x}-\sqrt{3-x})}{x-(3-x)}dx=\frac{1}{2}\int (x+3)(\sqrt{x}-\sqrt{3-x})dx$
   • 展开$(x+3)(\sqrt{x}-\sqrt{3-x})=x^{\frac{3}{2}}-x\sqrt{3-x}+3\sqrt{x}-3\sqrt{3-x}$
   • 然后分别计算各项积分，如对于$\int x\sqrt{3-x}dx$，令$t=3-x$，$x=3-t$，$dx=-dt$，$\int x\sqrt{3-x}dx=-\int (3-t)\sqrt{t}dt=-\int (3t^{\frac{1}{2}}-t^{\frac{3}{2}})dt$，最后合并结果（过程略）。